连续版本的概率论容斥原理

一道来自绿皮书的概率题: 在圆周上随机放 $N$ 个点, 求它们在同一个半圆上的概率.

这题当然有简单的方法: 记上述事件 $A$, 记每个点的极坐标角度 $\theta_i$, 记 $A_n $ 是所有点在同一个半圆里且半圆中按顺时针的第一个点为 $n$, 同时可以记为: $A_n = \{\theta_i | \theta_n < \theta_{i\neq n} < \theta_n + \pi\}$ (其中的不等式表示模 $2\pi$ 上的不等式.

\[P(A_n) = \prod_{i\neq n}P(\theta_n < \theta_i <\theta_n+\pi) = \frac{1}{2^{N-1}}\]

而 $A_n$ 是互斥事件并且覆盖全部$A$: $\bigcup_n A_n = A$, 所以

\[P(A) = \sum_n P(A_n) = \frac{N}{2^{N-1}}\]

然而我在做题时, 没有想到 $A_n$ 这样的划分, 而是设想在半圆 $\alpha \le \theta \le \alpha + \pi$ 上计算概率, 然后用容斥原理计算结果. 然而, 传统的容斥原理并不处理连续变量… 试图克服/推广的过程中, 出现了产生无穷大, 再消除无穷大这样物理学生喜闻乐见的过程, 感觉还是挺有意思的.

以下计算为了方便, 把 $0\sim 2\pi$ 角度映射到 $0\sim 1$, 并且所有角度位置相关的量都是模 $1$ 的.

为了把问题变回 (准) 离散问题, 假定把圆周分成 $\delta \to 0$ 的小扇, 一共有 $1/\delta$ 个扇形. 以下所有 $\alpha$ 都表示 $\alpha’ \le \alpha < \alpha’ + \delta$ 范围内在 $\delta\to 0$ 条件下的情况. 当 $\delta \ll 1$ 时, 在 $O(\delta^2)$ 的余项下有近似

\[\sum_\alpha = \frac 1\delta \int_0^1\mathrm d \alpha\]

记 $A_\alpha = \{\theta_i|\alpha\le\theta_i\le\alpha+\pi\}$. 于是统计容斥原理的结果是 (为方便计算概率, 定义容斥原理中涉及的角度为 $\alpha, \alpha_1, \alpha_2, \cdots$, 定义 $\tau_i$ 表示 $\alpha,\alpha_1, \cdots, \alpha_i$ 的交集角度):

\[\begin{align*} P(A) &= \sum_\alpha P(A_\alpha) - \sum_{\alpha, \alpha_1} P(A_{\alpha}\cap A_{\alpha_1}) + \\ &\qquad \sum_{\alpha, \alpha_1, \alpha_2} P(A_{\alpha}\cap A_{\alpha_1} \cap A_{\alpha_2}) - \cdots \\ &= \frac 1\delta \int_0^1\mathrm d \alpha \frac 1{2^N} - \frac 1{\delta^2} \int_0^1\mathrm d\alpha\int_0^{1/2}\mathrm d\tau_1 \,\tau_1^N + \\ &\qquad \frac 1{\delta^3} \int_0^1\mathrm d\alpha\int_0^{1/2}\mathrm d\tau_1 \int_0^{\tau_1}\mathrm d \tau_2 \,\tau_2^N - \cdots \\ &= \sum_{n=0}^\infty (-)^n \frac 1{\delta^{n+1}} \frac{N!}{(N+n)!} \frac 1{2^{N+n}} \\ &= N!(-\delta)^{N-1} \left(\sum_{n=0}^\infty - \sum_{n=0}^{N-1} \right) \frac{(-1/2\delta)^n}{n!} \\ &= N!(-\delta)^{N-1} \left(\mathrm e^{-1/2\delta} - \sum_{n=0}^{N-1} \frac{(-1/2\delta)^n}{n!}\right) \\ &= \frac{N}{2^{N-1}} + N!(-\delta)^{N-1} \mathrm e^{-1/2\delta} - N!\sum_{n=0}^{N-2} \frac{\delta^{N-1-n}}{n!(-2)^n} \end{align*}\]

注意到 $\delta\to 0^+$ 时后两项都是 $0$, 于是得到和前面一样的结果 $P(A) = N/2^{N-1}$.

这个过程中出现了 $1/\delta \to \infty$ 的无穷大, 但最终会被消除. 其原因应该是连续变量实际上会在算 “交集” 的时候提高一个维度, 而这个维度本身意义是不明确的, 需要用 $1/\delta$ 来消除. 这个思维似乎和重整化有异曲同工.

============= 2019-11-01 更新

对于一般的,

\[P\left(\bigcap_i A_{\alpha_i}\right) = f(\alpha_i) \Rightarrow P(\exists \alpha, A_{\alpha}) = ?\]

并不总是能找到解法. 一个例子是 $x$ 是 $[0,1]$ 上的均匀分布, $A_\alpha = \{x = \alpha\}$, $P(A_\alpha) = 0$, 但 $P(\exists \alpha, A_\alpha) \neq 0$. 上面的方法可行要求 $A_\alpha$ 的性质足够好.

感谢 C. Mao 的讨论!